Сам термин «многомерный массив» указывает, что человек не склонен приписывать элементам такого массива простую линейную упорядоченность, при которой каждый элемент получает свой отличительный порядковый номер. Однако, если мы хотим разместить массив в памяти, то его элементы неизбежно выстраиваются в такую линейную последовательность в соответствии с адресами, которые они получают. В принципе допустимо размещение элементов массива в памяти в любом порядке, лишь бы для каждого элемента была выделена своя ячейка. Но на практике многомерные массивы, как и одномерные, размещаются в памяти так, чтобы адрес элемента линейно зависел от его индексов.
Рассмотрим в качестве примера матрицу
Для ее размещения в памяти необходимо выделить тп ячеек. Ограничимся лишь такими вариантами размещения, когда эти ячейки занимают один сплошной участок памяти, т. е. составляют один программный массив. Линейная зависимость адреса от индексов получится, если на этом участке элементы матрицы будут расположены одним из двух способов: по строкам
или по столбцам
Размещение матрицы по строкам — самое употребительное, но, вероятно, лишь потому, что в таком порядке мы читаем печатный текст. Между тем, многие программы, например, программы решения систем линейных алгебраических уравнений несколько упрощаются, если фигурирующие в них матрицы расположить по столбцам.
Обозначим базовый адрес массива, в котором размещаются элементы матрицы, буквой а. Пусть адрес элемента ап равен а+1. Подсчитаем адрес ячейки, в которой должен быть размещен элемент a if — /-й элемент i-й строки матрицы. Первые i — 1 строка занимают (i — 1) п ячеек, поэтому элементы i-й строки начинают размещаться с ячейки с адресом а + (i — I) я + 1, и следовательно, адрес элемента а-ч- равен а + (i — 1) п + /. Аналогично, при размещении матрицы по столбцам элемент а у (теперь мы смотрим на него как на i-и элемент /-го столбца) попадает в ячейку с адресом а + (/ — 1) т + i. Эти выражения для адреса элемента atj будут очень часто использоваться в дальнейшем, особенно первое, соответствующее размещению матрицы по строкам.