Никакого другого, существенно отличающегося от алгоритма F, способа определения и способа вычисления этой функции не существует. Часто приводимое определение факториала фактически является намеком на тот же алгоритм и, кроме того, требует дополнительного уточнения для случая т = 0.
Вычисление х1 также представляет собой циклический процесс. Легко видеть, что при независимом вычислении членов суммы (1) мы будем выполнять много одинаковых вычислений. Например, при вычислении значения Л,входящего в выражение для uh мы вычислим значение (i — I)!, которое уже вычислялось для получения uily и умножим его на i. Аналогично, значение х\ входящее в uh получается из л'*-1, необходимого для вычисления и^1у умножением на х.
При разумной организации алгоритма мы не должны по нескольку раз повторять одни и те же вычисления. Чтобы избавиться от них, попытаемся выразить очередной член суммы ut через предыдущий член иi-i. Для этого найдем их отношение
Таким образом, зная член и^1у мы можем вычислить следующий член и,, выполнив всего две операции. Приходим к следующему варианту алгоритма, очищенному от повторяющихся вычислений.
В отличие от предыдущего примера будем считать, что номер п последнего члена суммы не задан явно, а определяется требованием, чтобы последний член ип не превосходил по абсолютной величине заданное число 8.
Здесь множитель —г2 (обозначим его через v) не зависит от /, а знаменатель 2t (2i + 1) вычисляется в зависимости от i сравнительно просто — без циклов. Алгоритм вычисления суммы (2), в котором цикл вычисления самой суммы совмещен с циклами, необходимыми для вычисления х2/+\ (21 + 1)! и даже (—1)*', оказывается таким:
S,   Вычисление суммы (2).
Следует обратить внимание на то, что вычисление v :'== —х2 вынесено в подготовительную часть цикла (шаг S1), чтобы не повторять его каждый раз заново. Перейти от алгоритма к машинной программе теперь уже не трудно.